Re: Etälukion

[vastaus aiempaan viestiin]

Jukka Ranta kirjoitti 13.12.2002 mm.
> En usko että ehdottamani kokonaispaketti luonnontieteellistä
> empiiristä ajattelua olisi välttämättä liian tuhti. Yksinkertaisimmat
> Bayespäättelyn esimerkit ovat laskettavissa lukiotiedoilla.

Pidin syksyllä 1998 Helsingin yliopistossa kurssin "Todennäköisyyksien
laskentaa", joka ei ollut perinteinen todennäköisyysteorian kurssi,
vaan - kuten nimikin sanoo - tavoitteena oli (tavanomaisen teoriakurssin
tietojen pohjalta) paneutua siihen, miten todennäköisyyksiä lasketaan
ja arvioidaan käytännössä.
Kurssille osallistui 21 opiskelijaa, joista 14 tilastotieteestä ja
loput 7 matematiikasta, tietojenkäsittelystä ja kansantaloustieteestä.
Kaikilla oli suoritettuna joko matematiikan tai tilastotieteen laitoksen
järjestämä todennäköisyyslaskennan johdantokurssi eli siis varmasti
enemmän kuin mitä lukiossa po. aihetta saatetaan opettaa.
Kurssi oli mielestäni onnistunut kokeilu, osanottajat innostuneita ja
palaute myönteistä.

Kuitenkin, testatessani kurssin alkaessa osanottajien todellista
tietämystä valikoiduilla teorian perusasioita koskevilla
päässälaskutehtävillä olin yllättynyt, miten heikosti tieto oli jäänyt
mieliin aikaisemmista opinnoista.

Kurssin kuluessa annoin normaaliin tapaan harjoitustehtäviä, joita
käsiteltiin seuraavalla kerralla (viikon päästä). Vaikka monilla
riitti intoa ratkaista tehtäviä ja usein onnistuivatkin, on aika
hämmästyttävää, ettei kukaan "ollut osannut" vastata seuraavaan,
yksinkertaiseen, Bayesin kaavaan perustuvaan kysymykseen, vaikka
tarvittavat tiedot oli heille varmasti opetettu aikaisemmilla
kursseilla.

|Tehtävä:
|Käytössä on N=1000000 kolikkoa, joista yhdessä on kruuna molemmilla
|puolilla. Muut kolikot ovat "aitoja".
|Kolikoista valitaan yksi umpimähkään. Tätä rahaa heitettäessä on saatu
|pelkkiä kruunia n kpl. peräkkäin.
|Kuinka suuri luvun n on oltava, jotta uskosi kolikon aitouteen
|putoaa todennäköisyydeltään alle eps=0.0000001 ?

Esitän tässä (Survon avulla) ratkaisun, jotta nekin tätä keskustelua
seuraavat, joille tällaiset asiat ovat oudompia, pystyisivät näkemään
suurin piirtein, mistä on kysymys.

|Ratkaisu:
|Käytetään seuraavia merkintöjä:
| A1="aito raha valittu", A2="epäaito raha valittu"
| Bn="n kruunaa saatu peräkkäin".
|Tällöin
| P(A1)=(N-1)/N, P(A2)=1/N
|ja
| P(Bn|A1)=2^(-n), P(Bn|A2)=1,
|
|jolloin Bayesin kaavasta saadaan
|
|           P(A1*Bn)           P(Bn|A1)*P(A1)
|P(A1|Bn) = -------- = -------------------------------
|            P(Bn)     P(Bn|A1)*P(A1) + P(Bn|A2)*P(A2)
|
|              2^(-n)*(N-1)/N
|         = ----------------------  = (N-1)/(N-1+2^n) =eps
|           2^(-n)*(N-1)/N + 1*1/N
|
|Täten n = log2((N-1)(1-eps)/eps) = log2(N-1) + log2((1-eps)/eps)
|
|Jos siis määritellään tilapäinen funktio
| n(N,E):=log((N-1)*(1-E)/E)/log(2)
|saadaan yllä annetuilla arvoilla N ja eps
| n(N,eps)=43.18506364657
|
|eli tarvitaan 44 heittoa, jotta usko rahan epäaitouteen on yhtä
|vahva kuin usko rahan aitouteen oli ennen ensimmäistä heittoa.

Aikoinaan (noin 10 vuotta sitten) järjestettiin lukion matematiikan
opettajille Heinolan kurssikeskuksessa pariin kertaan todennäköisyys-
laskentaa ja tilastotiedettä koskevaa täydennyskoulutusta.
Omassa esityksessäni käsittelin helppoja todennäköisyyslaskennan
tehtäviä, joista monessa ennen muodollista ratkaisua arvuuttelin
osanottajilta heidän käsityksiään. Joukossa oli klassinen
"Doors"-ongelma, johon arvaamalla vastasi oikein vain muutama parista
kymmenestä osanottajasta:

|Minulla on kolme laatikkoa, joista sinun näkemättäsi valitsen yhden
|umpimähkään ja sujautan siihen pallon. Muut kaksi laatikkoa jäävät
|tyhjiksi eikä ulkopuolelta näy, missä laatikossa pallo on, mutta minä
|tiedän sen.
|Sinun tehtävänäsi on arvata, missä laatikossa pallo on. Kun olet
|tehnyt valintasi (oli se oikea tai väärä), poistan yhden laatikoista
|ja näytän, että se on tyhjä.
|Nyt annan sinulle tilaisuuden vaihtaa valintaasi, koska kaksi laatikkoa
|on edelleen jäljellä ja joista toista olet jo arvannut.
|Kysymys kuuluu: Kannattaako vaihtaa valinta siihen toiseen laatikkoon?
|Useimpien vastaajien intuitiivinen kanta on, että "on kai tuo
|samantekevää, vaihtaako vai ei".
|
|Näin ollen hämmästys on suuri kun voidaan todeta, että vaihtaminen
|todella kannattaa, koska silloin valinta osuu oikeaan
|todennäköisyydellä 2/3.
|
|Fiksulle ihmiselle riittää perusteluksi esim. seuraava:
|Jos et vaihda valintaasi, et siis noteeraa antamaani informaatiota
|(yhden laatikon poistoa) ja tällöin arvaat oikein alkuperäisellä
|todennäköisyydellä 1/3. Jos vaihdat, se on komplementaarinen tapahtuma
|edelliselle ja arvaat silloin oikein todennäköisyydellä 1-1/3=2/3.

Tämä mitätön ongelma on aika ajoin synnyttänyt valtavan kiihkoista
keskustelua, vaikka järkevän maallikonkin saa melko helposti ymmärtämään
asian todellisen laidan. Niinpä tuossa Heinolan tilaisuudessakin pyrin
johtamaan tuloksen mahdollisimman selkeästi ja havainnollistamaan
simulointikokeella.
Joillekin sanoma ei kuitenkaan mene perille - teki mitä tahansa,
kun se on vastoin heidän omaa intuitiotaan.
Niinpä Heinolassa eräät opettajat melkein raivon vallassa tulivat
tuputtamaan omia, eriäviä mielipiteitään esitykseni päätyttyä.
Hauskaa mutta toisaalta masentavaa!

Voisin jatkaa vielä useammilla esimerkeillä, joille yhteistä on se,
että ihmisten on uskomattoman vaikea tulla toimeen todennäköisyyksien
kanssa riippumatta siitä, minkä paradigman kautta aihetta lähestytään.
Jo alkeellisenkin todennäköisyyslaskennan hallinta konkreettisissa
ongelmissa on paljon vaikeampaa kuin mitä ne, jotka tuosta viisaudesta
ovat päässeet perille, aavistavatkaan.

Siksi ehdottamasi kokonaispaketti (mielenkiintoisuudestaan huolimatta)
on liian "tuhti" jo matematiikan opettajalle yhteiskuntaopista
puhumattakaan. Hartaasti toivosin olevani väärässä, mutta ...:)
Ymmärtääkseni yliopistotasollakin tuommoiset asiat ovat kuuluneet
lähinnä aine- ja syventävien opintojen puolelle.

Seppo Mustonen

• Re: Etälukion (Jukka Ranta 16.12.2002 17:38)

Luettelo keskustelunaiheista

Survo-keskustelupalstan (2001-2013) viestit arkistoitiin aika ajoin sukrolla, joka automaattisesti rakensi viesteistä (yli 1600 kpl) HTML-muotoisen sivukokonaisuuden. Vuoden 2013 alusta Survo-keskustelua on jatkettu entistäkin aktiivisemmin osoitteessa forum.survo.fi. Tervetuloa mukaan!