[viesti Survo-keskustelupalstalla (2001-2013)]
| Kirjoittaja: | Seppo Mustonen |
|---|---|
| Sähköposti: | - |
| Päiväys: | 25.4.2005 16:48 |
Luettuani joitain viikkoja sitten Dan Brownin bestsellerin
"Da Vinci -koodi", jäi harmittamaan, miten epäselvästi
siinä puhutaan kultaisesta leikkauksesta.
Ei muistaakseni edes mainita, että kyseessä on alunperin
Euklideen esittämä janan (tässä AB)
|------------*--------|
A C B
jako jatkuvaan suhteeseen siten, että koko janan pituuden suhde
suurempaan osaan (AC) on sama kuin suuremman osan suhde pienempään
(CB) eli siis AB/AC = AC/CB. Nimi "kultainen leikkaus" ei periydy
Euklideelta, vaan sen on ottanut käyttöön eräs saksalainen matemaatikko
vasta 1800-luvun alussa.
Jos merkitään yksinkertaisuuden vuoksi AB=1, AC=u1 ja CB=u2,
vaaditaan siis, että u1+u2=1 ja 1/u1=u1/u2=fii, josta saadaan
tuolle jatkuvalle suhteelle fii toisen asteen yhtälö
2
fii - fii - 1 = 0
ja siitä kelvolliseksi ratkaisuksi fii = (sqrt(5)+1)/2 = 1.6180339887...
Brown typistää arvoksi 1.618 selittämättä juuri mitään, mutta eihän
romaaneissa...
Koska tulin kuvanneeksi asiaa joillekin matematiikkaa vieroksuville
tuttavilleni, jäi jostain syystä askarruttamaan: Mitä jos yleistetään
jatkuvaan suhteeseen jakoa siten, että jana AB jaetaankin kolmeen
osaan
|-------------*----*--|
A C1 C2 B
siten, että vaaditaan
AB AC1 C1C2
--- = ---- = ----
AC1 C1C2 C2B
Yleisyyttä rajoittamatta merkitään AB=1, AC1=u1, C1C2=u2, C2B=u3,
jolloin syntyvät yhtälöt
u1 + u2 + u3 = 1
1/u1 = u1/u2 = u2/u3 = x .
Näistä 'helposti' saadaan u1:lle yhtälö u1^3 + u1^2 + u1 - 1 = 0 eli
yhteiselle suhteelle x^3 - x^2 - x - 1 = 0, jolla on vain yksi reaali-
juuri ja se välillä (1,2).
Esim. Survolla saadaan ratkaisulle likiarvo
x=root_of(x^3-x^2-x-1=0,1,2) x=1.8392867552142
Hakiessani verkosta tietoja tästä x:stä havaitsin,
että se tunnetaan "tribonacci"-vakiona, koska lukujonossa
1 1 2 4 7 13 24 44 ...
eli u_{n} = u_{n-1} + u_{n-2} +u_{n-3}
kahden peräkkäisen luvun suhde u_{n}/u_{n-1} lähestyy lukua x, kun
n kasvaa rajatta.
Tämä ei ollut yllätys, kun ajattelee kultaisen leikkauksen ja Fibonacci-
lukujen yhteyttä.
Itselleni yllätys on vain se, etten verkosta esim. hauilla
"golden section" +tribonacci +fibonacci
ole löytänyt ainuttakaan mainintaa siitä, että x on "kultaisen
leikkauksen yleistys" tuohon geometriseen tyyliin, jonka juuri kuvasin,
vaikka se on täysin ilmeistä ja ansaitsisi maininnan mm. tribonacci-
lukuja koskevissa yhteyksissä.
Aivan samalla tavalla janan jako jatkuvaan suhteeseen neljästi tai
viidesti johtaa tetranacci- ja pentanacci-vakioihin, ja niistäkin
löytämissäni lähteissä puhutaan vain Fibonacci-lukujen yleistysten
peräkkäisten lukujen suhteiden raja-arvoina.
Yleisessä janan n-jaossa jatkuvaan suhteeseen päädytään luvun n
kasvaessa suhdelukuun 2 ja janan toistuvaan kahtiajakoon
1=1/2+1/4+1/8+...
Koska en siis löytänyt mistään näitä hyvin triviaaleja - mutta
omasta mielestäni hauskoja - geometrisia tulkintoja,
lähetin pari päivää sitten ehdotukseni
sekä
Eric Weinsteinin MathWorld-sivustoon, jossa on jopa
"Fibonacci n-Step Number" -hakusana "Tribonacci Constant"- ja
"Tetranacci Constant" -artikkeleiden lisäksi
että
N.J.A. Sloanen "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences" -
kokoelmaan.
Toistaiseksi ei ole tullut mitään vastauksia kummaltakaan.
Kuten sanottu, en ole löytänyt minkäänlaisia referenssejä (verkon
kautta) mainittuihin geometrisiin tulkintoihin.
Olisin edelleen yllättynyt, jos ei sellaisia löydy, mutta kun olen
nyt turvautunut eräiden matemaatikkojen apuun (joilla on paremmat
yhteydet matemaattisten juttujen tietokantoihin), ei mitään
vastaavaa yleistystapaa ole kuitenkaan tullut esiin.
Antaakseni lopullisen ärsykkeen referenssien löytämiselle, kirjoitin
viikonvaihteessa kolmisivuisen jutun englanniksi ja sijoitin
sen näille sivuille osoitteeseen
www.survo.fi/papers/nsection.pdf
Aion lähettää siitä viestin ao. tahoille.
Survon avulla synnytin tekstin ja kaavat LaTex-tyyliin sekä kuvat
PostScript-tiedostoina.
-Seppo
| Vastaukset: |
|---|
Survo-keskustelupalstan (2001-2013) viestit arkistoitiin aika ajoin sukrolla, joka automaattisesti rakensi viesteistä (yli 1600 kpl) HTML-muotoisen sivukokonaisuuden. Vuoden 2013 alusta Survo-keskustelua on jatkettu entistäkin aktiivisemmin osoitteessa forum.survo.fi. Tervetuloa mukaan!