[viesti Survo-keskustelupalstalla (2001-2013)]
| Kirjoittaja: | Seppo Mustonen |
|---|---|
| Sähköposti: | - |
| Päiväys: | 4.12.2002 9:28 |
TV1:n ns. Etälukiossa on lähetetty viime viikkoina matematiikan
opetuksesta neljän ohjelman sarjaa uusintana lauantaisin klo 12.30-13.
Tämä sarja tuli ulos jo viime keväänä ja satuin silloin näkemään
sen viimeisen (4.) osan, joka on varustettu otsikolla "Tilastot".
Vaikka ohjelma on teknisesti korkealaatuinen ja esitystapa
sympaattinen, se on sisällöltään monin kohdin valitettavan
puutteellinen. Koska Opetushallitus on osavastuussa tästä
ohjelmasarjasta, otin silloin keväällä välittömästi yhteyttä
henkilöön, joka on tuon instanssin puolesta ollut valvomassa
ohjelman tekoa ja esitin hänelle huolestumiseni ohjelman
tasosta. Tällä ei näyttänyt kuitenkaan olevan mitään vaikutusta,
sillä ohjelman vastaavalta tuottajalta (YLE) kuulin viime viikolla,
että sarja lähetetään nyt uusintana sellaisenaan.
Pyysin tällöin käyttööni YLE:stä ko. jakson nauhalla ja olen katsonut
sen uudelleen pariinkin kertaan. Arviointini ohjelmasta on tässä
viestissä.
Toivon, että ainakin ne, joita tilastotieteen opetuksen asema lukioissa
kiinnostaa, katsoisivat ensi lauantain ohjelman (ja jopa nauhoittaisivat
sen itselleen). Tällöin he voivat paremmin arvioida ohjelmaa ja seurata
kritiikkiäni yksityiskohtaisesti.
Lähetettyäni maanantaina (2.12) arviointini ohjelman tuottajalle
sähköpostitse tiedustelin tiistaiaamuna (3.12) häneltä viestini
perilletuloa. Yllättäen sain nyt kuulla, että ohjelmaan on sittenkin
tehty eräitä muutoksia, joten kävin hakemassa välittömästi tuon
uusimmankin version.
Tilanne on nyt sellainen, että ensi lauantaina 7.12 klo 12.30
TV1 lähettää uudelleen tuon tilastotieteeseen liittyvän
jakson muuten alkuperäisessä asussaan, mutta aivan ohjelman
lopussa ollut t-testiä koskeva esimerkki on siitä poistettu ja
korvattu asiantuntijahaastattelulla.
---------------------------------
Ohjelman pääepäkohta on siinä, että ohjelmantekijät ovat toimineet
"puhtaan matematiikan" arvomaailmasta käsin, tulkitsemalla
ja laskemalla asioita mekaanisesti. He eivät oikein piittaa siitä, mikä
on laskemisen tarkoitus ja mitä keinoa on kulloinkin mielekästä
soveltaa.
Tämä kuvastaa osittain ennalta tuttua monien matematiikan opettajien
välinpitämätöntä ja joskus jopa halveksivaa suhtautumista "epäeksaktia"
todennäköisyyslaskentaa ja varsinkin tilastotiedettä kohtaan.
Tässä ohjelmassa ei kuitenkaan esiinny mitään tarkoitushakuista
tilastotieteen mollaamista.
Vaikka itsekin olen matemaatikko, olen kauan ollut sitä mieltä, että
tilastollista ajattelua, ennen kaikkea tilastojen ja tilastokuvien
tulkintaa tulisi opettaa kouluissa yläasteilla ja lukioissa yhteisenä
ja yleisenä kansalaistaitona eikä pelkästään matematiikan tunneilla.
Käyn nyt läpi tärkeimmät yksityiskohdat ja yritän selittää,
mikä on mennyt pieleen ja myös ehdottaa, mitä voitaisiin panna tilalle.
Kellotukset osoittavat, mitä kohtaa ohjelmassa käsittelen.
00'00 Etälukio
00'06 Matematiikka, Tilastot, osa 4.
00'26:
Yritys "opettaa kansalle", ettei saisi puhua keskivertoilmaisuilla
(esim. "keskiarvoihminen" pro "keskivertoihminen") on tarpeetonta
ja tahattoman huvittavaa.
Kun ohjelmassa sanotaan, että "matematiikassa määritellään" keskiverto
tietyllä kaavalla (havaintoarvojen tulon n. juuri, kun havaintomäärä
on n), se on nimellisesti totta joidenkin oppikirjojen mukaan.
Termi "keskiverto" on kuitenkin käsitykseni mukaan puhtaasti
suomalainen keksintö enkä tiedä, kuka oli se onneton, joka aikoinaan
halusi omia tälle sanalle tuon erikoismerkityksen.
Keskiverto on kielemme yleissanoja (kts. Nykysuomen sanakirja), eikä
tätä tosiasiaa muuta juontajan toteamus: "Keskiverrolle on varattu jo
tietty merkitys"!
Keskivertoa vastaavaa sanaa ei liene esim. englannin- tai saksan-
kielessä. Parempi ilmaisu on "geometrinen keskiarvo" (esim. englanniksi
"geometric mean"), jota nykyisin myös suomenkielisissä oppikirjoissa
käytetään.
Geometrisen keskiarvon mielekäs käyttöalue rajoittuu eksponentiaalista
kasvua tai vähenemistä (likimain) kuvaavien aineistojen tarkasteluun.
Kun esim. aritmeettisessa jonossa
1 2 3 4 5 6 7
(aritmeettinen) keskiarvo 4 on "oikea keskiluku" niin vastaavasti
geometrisesti kasvavassa jonossa
1 2 4 8 16 32 64
geometrinen keskiarvo 8 on "oikea keskiluku" (keskimmäinen).
Aritmeettinen keskiarvo 127/7=18.14 kuvaa siinä tilannetta heikommin.
"Geometrinen keskiarvo" juontanee sitäpaitsi juurensa geometriasta
siten, että suorakulmaisessa kolmiossa ABC
C kulma ACB siis suora
/| \
/ | \
/ |h \
/ | \
/ | \
A-----D-------------------B
x y
korkeusjanan CD pituus h on (osakolmioiden yhdenmuotoisuuden ansiosta)
sama kuin janojen x (AD) ja y (DB) pituuksien geometrinen keskiarvo,
sillä verrannosta h:x=y:h seuraa välittömästi h=sqrt(x*y).
Saattaapa olla, että tuo suomenkielessä kummitellut "keskiverto" on
lähtöisin tältä "sylttytehtaalta", koska verrannollisuudestahan siinä
on kysymys.
Kun sitten ohjelmassa käsitellään keskilukuja, ei kiinnitetä
mitään huomiota siihen, millä edellytyksillä kutakin niistä
(keskiarvo, geometrinen keskiarvo, mediaani, moodi) sopii käyttää.
Sen asemasta, että kulutetaan aikaa melkein 4 minuuttia tarpeettomaan
"keskiarvo pro keskiverto"-pohdintaan, olisi tullut kiinnittää huomiota
mittaamisen tasoon eli siihen, minkälaatuista tietoa aineistossa olevat
luvut oikeastaan tarjoavat.
Se, että jonkin ilmiön kuvaus on pystytty esittämään joukkona
lukuja, ei vielä oikeuta ilman muuta tekemään mitä tahansa
(tilastollisia) laskutoimituksia. Eri menettelyjen (tässä tapauksessa
keskilukujen laskemiset) riippuvat olennaisesti mitta-asteikon
tasosta seuraavasti:
Asteikko Esimerkkejä Keskiluku
---------------------------------------------------------------------
laatueroasteikko väri, sukupuoli tyyppiarvo eli moodi
järjestysasteikko asennemittaus, moodi ja mediaani
mineraalien kovuus
intervalliasteikko lämpötila ja monet edelliset + keskiarvo
muut fysikaaliset
ilmiöt
suhdeasteikko paino, ikä, lukumäärä edelliset +
esim. eksponentiaalista
kasvua kuvaavissa
tilanteissa geometrinen
keskiarvo
Mitta-asteikkoja on sitäpaitsi kätevä luonnehtia jopa matemaattisesti
kertomalla, miten yleisen muunnoksen y=f(x) mittaluku x sietää ilman,
että kadotetaan informaatiota. Yleisimmät sallitut muunnokset ovat:
Asteikko Sallitut muunnokset
---------------------------------------------------------------------
laatuero f(x) on bijektio (siis kääntäen yksikäsitteinen)
järjestys f(x) on monotonisesti kasvava funktio
intervalli f(x)=ax+b (missä a>0 ja b ovat vakioita)
suhde f(x)=ax (missä a>0)
Pahimpia "unohduksia" ohjelmassa on se, ettei tilastollista vaihtelua
kuvaavia mittalukuja, mm. keskihajontaa lainkaan esitellä;
ei edes empiirisen keskihajonnan yksinkertaista kaavaa anneta.
Hajontaluvuilla on toki yhtä tärkeä merkitys satunnaisilmiöiden
kuvauksessa kuin keskiluvuillakin.
Keskihajonta putkahtaa sanana esille vasta normaalijakauman kohdalla
(9'10), mutta sitä ei silloinkaan mitenkään "selitetä" tai määritellä,
vaikka jatkossa paljon käytetäänkin.
4'10:
Tässä käsitellään pientä, 11 havainnon ikäaineistoa
18, 18, 25, 33, 35, 36, 37, 38, 40, 55, 55.
Edellä esittämäni valossa mm. "keskiverron", siis geometrisen
keskiarvon käyttö on tässä yhteydessä kyseenalaista.
Mediaanin ja (aritmeettisen) keskiarvon käyttö on mahdollista.
5'23:
Kun tarkastellaan kvantitatiivista aineistoa, tyyppiarvon laskeminen
luokittelemattomassa tilanteessa on usein järjetöntä .
Ohjelmassa väitetään, että aineistolla on kaksi tyyppiarvoa
(18 ja 55), koska vain nuo arvot sattuvat esiintymään useammin kuin
kerran ja siis kahdesti, mutta siinä ei ole mitään tolkkua.
Tilastotiedettä ymmärtävän silmin aineistossa tyyppiarvona
voidaan (jos on pakko) pitää esim. ikäluokkaa 30-39, kun
aineisto luokitellaan tasavälisesti:
ikä frekvenssi
< 20 2
20-29 1
30-39 5
40-49 1
50 - 2
Hieman myöhemmin (6'15) tyyppiarvon esittelyyn olisi kyllä ollut oiva
tilaisuus, kun näytetään Etälukion opiskelijoita ikäryhmittäin,
jolloin frekvenssijakauma on
ikä frekvenssi
<18 99
18-29 989
30-39 666
40-49 612
50-59 227
60> 53
Tosin tässä olisi joka tapauksessa ollut parempi käyttää mahdollisimman
tasavälistä luokittelua, esim. <20, 20-29, 30-39, 40-49, jne.
jolloin nähtäisiin selkeämmin, että tyyppiarvo sijoittuu mitä
ilmeisimmin ikäluokkaan 20-29.
6'45:
Normaalijakauman merkitystä on tyydytty kuvaamaan sanoin
"Normaalijakauma on yleisesti tunnettu jatkuva jakauma ja sitä käytetään
usein käytännön tilanteiden tilastollisena mallina. Normaalijakaumaa
noudattavat sellaiset satunnaismuuttujat, joiden arvoon vaikuttavat
useat tekijät."
Viittaukset ko. jakauman historiaan ja eräisiin muihin ominaisuuksiin
ovat aivan paikallaan, mutta tärkeämpää olisi kertoa hieman tarkemmin,
miksi normaalijakauma sopii "käytännön tilanteisiin".
Tässä siis olisi ehdottomasti paikallaan viittaus todennäköisyyslasken-
nan keskeiseen raja-arvolauseeseen: Ko. lausehan sanoo, että hyvin
yleisin edellytyksin samasta jakaumasta saatujen, riippumattomien
havaintojen summa (ja keskiarvo) lähestyy jakaumaltaan normaalijakaumaa,
kun havaintojen lukumäärä kasvaa ja usein tämä toteutuu melko hyvin jo
luokkaa 30 olevilla havaintomäärillä.
Samalla olisi ollut tilaisuus (joidenkin arvostettujen historiallisten
hahmojen kustannuksella) mainita suomalainen J.W.Lindeberg, jonka
1900-luvun alkupuolen saavutuksiin tämän tärkeän lauseen minimiehtojen
etsijänä edelleenkin viitataan todennäköisyysteoreettisissa
tutkimuksissa.
8'40:
Vaikka graafiset esitykset ohjelmassa ovat visuaalisesti selkeitä,
normaalijakauman tiheysfunktio on aina piirretty väärin siten, että
käyrää ei ole jatkettu positiivisella eikä negatiivisella
puolella laidoille asti. Nyt vaikuttaa jopa siltä, että jos
jatkettaisiin, käyrä näyttäisi menevän x-akselin alapuolelle!
Perspektiivikuvana juontajan edessä esitys ehkä käy, mutta ei silloin,
kun kellokäyrä esitetään koordinaatistossa.
10'30:
Neuvolaesimerkin kasvukäyrät jne. ovat OK.
14'40:
Esim.2 Pitkän matematiikan kirjoitukset (kev.2000)
Ei ole mitenkään todettu, että normaalijakaumaolettamus juuri
tässä aineistossa olisi voimassa.
Useinhan esim. matemaattisten aineiden kokeissa tyypillistä
on jakauman kaksihuippuisuus eli kokelaat jakautuvat helposti
kahteen (joskus jopa useampaan) ryhmään eli "ne jotka osaavat"
ja "ne jotka eivät osaa", jolloin ollaan kaukana normaalisuudesta.
Tästä ei pidä päätellä, että koepisteitä pitäisi jotenkin väkisin
"normalisoida" tai koetehtäviä laatia siten, että tulosten jakauma
olisi kauniisti normaalijakauman mukainen.
Jos 5 prosentille kokelaista suodaan laudatur, voi pisterajan toki
määrätä suoraan empiirisen jakaumankin pohjalta ilman
normaalisuusolettamusta.
17'10: Esim.3 "pussituskone" on OK.
19'00: Esim.4 Keskiarvojen erot
Tässä esitellään syksyn 2001 ylioppilaskirjoitusten matematiikan kokeen
(lyhyt oppimäärä) puoltoäänten frekvenssijakaumat erikseen
etälukiolaisten (43 kpl) ja muiden (5564 kpl) osalta.
Etälukiolaisilla puoltoäänten keskiarvo oli 3.77 (keskihajonta 2.00)
ja muilla taas vastaavasti 3.42 (2.06).
Juontaja sanoo: "Tutkitaan, eroaako etäopiskelijoiden puoltoäänten
keskiarvo kaikkien muiden keskiarvosta?"
Tämän jälkeen ohjelman uusin versio poikkeaakin keväällä nähdystä
ja minulle viime viikolla nauhalla toimitetusta siten, että
tavanomaisen t-testin esittely ja suoritus on korvattu asiantuntija-
haastattelulla, mikä on selvä parannus. Tosin kyseessä on
eräänlainen hätäratkaisu, sillä uusitussa versiossa po. kysymystä
pohdiskellaan kyllä järkevästi mutta vain periaatetasolla. Juontajan
esittämään kysymykseen ei tule koskaan uudistetussa versiossa
konkreettista vastausta, vaikka siinäkin kerrotaan yllämainitut
tunnusluvut, näytetään frekvenssijakaumat ja juontaja esittää
yllämainitun kysymyksen.
Alkuperäisessä versiossa keskiarvojen vertailu suoritettiin t-testillä,
mutta se esitettiin tavalla, joka jätti koko testaamisen ideankin
hämärän peittoon. Siinä esiintyi useita uusia käsitteitä ja merkintöjä,
joita ei kunnolla perusteltu. Juontaja vain latoi kaavoja eteen ja luki
niitä mekaanisesti selittämättä tuskin mitään. Mutta tämähän on onneksi
nyt poistettu.
....................................
Kuten edellä esitetystä näkyy, huomautettavaa on niin paljon, että
ohjelmaan tulisi edelleenkin tehdä melkoisia muutoksia.
Mielestäni parempi ajatus olisi käyttää nuo muutosresurssit kokonaan
uuden ohjelman tekoon, jossa toimittaisiin tilastollisen ajattelun
eikä matematiikan nykyopetuksen ehdoilla. Uudistetussa versiossa
loppuosa paikkaa hieman tätä epäkohtaa.
Monia asioita voisi hyvin havainnollistaa tietokoneen avulla tehtävillä
simulointikokeilla. Näin mm. näytettäisiin, miten keskeinen raja-
arvolause toimii käytännössä.
Samaten esim. viimeisenä ohjelmassa esitetty keskiarvojen vertailu olisi
kyllä voitu viedä tulokseen ytimekkäästi ja ymmärrettävästi esim.
seuraavasti: (Käytän tässä Survo-ohjelmiston keinoja; ohjelman
ilmaisversio on kaikkien vapaasti käytettävissä.)
Alla on suoraan Survon ns. toimituskenttään (tekstinkirjoitustilaan)
kirjoitettua tekstiä:
.......................................................................
Tarkastellaan kahta riippumatonta yhden muuttujan otosta,
joiden koot ovat n1,n2, keskiarvot m1,m2 ja keskihajonnat s1,s2.
Perusolettamus: Otokset ovat peräisin normaalijakaumista niin, että
mahdollisesti odotusarvot my1 ja my2 poikkeavat
toisistaan, mutta keskihajonnat ovat samat.
Nollahypoteesi H0: my1 = my2
Vastahypoteesi H1: my1 < my2 tai my1 > my2
Tässä tilanteessa käytetään kaksisuuntaista t-testiä, joka perustuu
otoskeskiarvojen m1 ja m2 erotuksen tarkasteluun, jolloin liian suuri
|m1-m2| antaa aiheen epäillä H0:n paikkansapitävyyttä.
Tarkalleen testisuureena on
t=(m1-m2)/s/sqrt(1/n1+1/n2)
missä s on yhdistetystä otoksesta laskettu keskihajonta
s=sqrt(((n1-1)*s1^2+(n2-1)*s2^2)/(n1+n2-2)) .
Jos H0 on voimassa, testisuure t noudattaa t-jakaumaa n1+n2-2
vapausasteella ja kaksisuuntaisen testin kriittinen taso on
P=if(m1>m2)then(P1)else(P2) ,
missä
P1=2*(1-t.F(n1+n2-2,t)) ja P2=2*t.F(n1+n2-2,t) .
t.F(n,x) on t-jakauman kertymäfunktio, kun vapausasteita on n ja
argumenttina x.
Esimerkissä 4 otosten tunnusluvut ovat
n1=43 m1=3.77 s1=2.00
n2=5564 m2=3.42 s2=2.06
ACCURACY=3
jolloin saadaan (suoraan aktivoimalla alla oleva P)
P=0.267
eli todennäköisyys sille, että saataisiin itseisarvoltaan tässä
esiintyneen suuruinen tai sitä pienempi keskiarvoero, on noin 0.27,
mikä osoittaa ettei tämä ole mikään harvinainen tilanne.
Niinpä H0 jää voimaan kaikilla järkevillä riskitasoilla.
.......................................................................
Yllä voidaan lähtöarvoja n1,n2,m2,m2,s1,s2 vapaasti muutella ja
aktivoida uudelleen P=
joten koko tuo tarina vastaa täysin yleistä t-testiohjelmaa.
Tarinaa voi tietenkin laajentaa kertomalla periaatteista ja teknisistä
yksityiskohdista tarkemmin.
Huomattakoon, että tarinan takana ei ole mitään erillistä testi-
ohjelmaa, vaan kysyttäessä P:tä (siis aktivoitaessa hiirellä
tuossa tekstissä P= ) Survo pystyy tekstin seasta "lukemaan" alkuarvot
sekä samoin lukemaan tarvittavat kaavat ja laskemaan niiden avulla
kysytyn tuloksen.
Tarina on helposti kopioitavissa toisille, jotka haluavat tehdä
vastaavia laskelmia.
Sama tehtävä voidaan Survossa toteuttaa vielä yksinkertaisemmin,
kun käytettävissä on alkuperäiset aineistot.
Tässä tapauksessa saatoin konstruoida ohjelmassa esitettyjen
frekvenssitaulukkojen pohjalta "alkuperäiset" 43 ja 5564 havainnon
puoltoääniaineistot, joille annoin nimet MAT_ETA ja MAT_MUUT ja
tarkastellulle puoltoääni-muuttujalle nimen Pisteet.
Nyt koko testin voi suorittaa antamalla Survossa komennon
/VERTAA MAT_ETA(Pisteet),MAT_MUUT(Pisteet)
ja vastaamalla tällä komennolla käynnistyvän Survon VERTAA-
ohjelman esittämään, muutamaan perusoletuksia koskevaan kysymykseen.
Tämän jälkeen toimituskenttään ilmaantuu seuraavanlainen vastaus:
.......................................................................
Olettamukset:
Otokset MAT_ETA(Pisteet) ja MAT_MUUT(Pisteet) ovat riippumattomia.
Mittaukset intervalliasteikollisia.
Kumpikin otos normaalijakaumasta.
Nollahypoteesi: Kummankin otoksen havainnot saatu samasta jakaumasta.
Vastahypoteesi:
Havainnot saatu eri jakaumista (2-suuntainen testi).
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
COMPARE MAT_ETA(Pisteet),MAT_MUUT(Pisteet),CUR+1 / SIMUMAX=0
Riippumattomat otokset MAT_ETA(Pisteet) MAT_MUUT(Pisteet)
Otoskoko 43 5564
Keskiarvo 3.767442 3.420561
Hajonta 2.021753 2.056364
t-testi: t=1.102 df=5605 (P=0.8648 1-suuntainen testi)
Järjestyslukusumma (R) 133152 15588876
Mann-Whitney-testi (U) 132206 107046
(P=0.8829 1-suuntainen testi, normaalijakauma-approksimaatio)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Päätelmät:
Johtopäätökset perustuvat t-testiin.
Kaksisuuntaisen testin kriittinen taso on 0.2704 .
Hypoteesi "Otokset samasta jakaumasta" jää voimaan.
.......................................................................
Siis kaikki ylläoleva on suoraa Survon VERTAA-ohjelman tulostusta.
Ohjelma jopa "tulkitsee" sanallisesti sekä olettamukset että
päätelmät.
Lukiotasolla lienee aika mahdotonta johtaa niitä teoreettisia
tuloksia, joita tarvitaan t-testin perustelemiseksi (otoskeskiarvon
ja varianssin riippumattomuus, t-jakauma).
Olisi joka tavalla yksinkertaisempaa tyytyä epäparametrisiin
tai vielä paremmin satunnaistettuihin testeihin, joita esim.
Survon VERTAA käyttää silloin, kun ei voida olettaa normaalisuutta
tai kun otoskoot ovat pieniä. Tullaan siis toimeen t-testiin
verrattuna myös paljon väljemmin perusoletuksin.
Tästä on esimerkkejä mm. Survon suomenkielisessä opetussarjassa.
Satunnaistetun testin idean ja toimivuuden pystyy kuvaamaan varsin
vähin esitiedoin, kuten voi nähdä katsomalla Survon opetusohjelmia.
Olen pahoillani, että nämä keskiarvotestin vaihtoehtoiset suoritustavat
vievät tässä "paperilla" paljon tilaa; ne pääsevät paremmin
oikeuksiinsa "luonnossa" eli katsottuna tietokoneen näytöltä.
....................................
Korostaisin lopuksi sitä, että nykytekniikan ja sopivien tilasto-
ohjelmien ansiosta tilastotiede on muuttumassa laboratorioaineeksi
fysiikan ja kemian tapaan. On mahdollista ja joskus välttämätöntäkin
tehdä laskennallisia kokeita teoreettisten tarkastelujen tueksi ja
ymmärtämiseksi. Tämäntapainen kokeellinen tilastollinen tutkimus onkin
luonteeltaan hyvin mielenkiintoista "salapoliisityötä".
Uskon siis vakaasti, että Etälukioonkin olisi mahdollista tehdä ohjelma,
joka on tämänhetkistä virheettömämpi, monipuolisempi, kiinnostavampi
ja ennen muuta tekee paremmin oikeutta tilastolliselle ajattelulle.
Seppo Mustonen
| Vastaukset: |
|---|
Survo-keskustelupalstan (2001-2013) viestit arkistoitiin aika ajoin sukrolla, joka automaattisesti rakensi viesteistä (yli 1600 kpl) HTML-muotoisen sivukokonaisuuden. Vuoden 2013 alusta Survo-keskustelua on jatkettu entistäkin aktiivisemmin osoitteessa forum.survo.fi. Tervetuloa mukaan!