[vastaus aiempaan viestiin]
| Kirjoittaja: | Seppo Mustonen |
|---|---|
| Sähköposti: | - |
| Päiväys: | 19.9.2002 18:47 |
Jorma Merikoski on lähettänyt tänä iltana (19.9) uuden, seuraavanlaisen viestin: > > Käytyäni kirjastossa ja mietittyäni muutenkin tätä logaritmisen > keskiarvon (seuraavassa "log-keskiarvo") asiaa minulla on muutamia > vaihtelevan tasoisia ja vaihtelevalla huolellisuudella tehtyjä > kommentteja. Viittauksissa SK tarkoittaa Survon keskustelupalstaa. > > 1. Otaksut (SK, 30.8), että Vartia on ensimmäisenä puhunut > log-keskiarvosta. Hän ei ole ensimmäinen, sillä E.L.Dodd (Ann. Math. > Statistics 12 (1941), 422-428) on jo vuonna 1941 käyttänyt termiä > "logarithmic mean". Sanot myös (SK, 14.9), että Törnqvist on jo 1935 > käyttänyt ruotsinkielisessä julkaisussaan termiä "log-mean". Kenties > hän todellakin on ensimmäinen, joka on tutkinut tätä keskiarvoa. > > 2. Dodd lienee myös ensimmäisenä yleistänyt log-keskiarvon useammalle > luvulle (eli "havainnolle") kuin kahdelle. Minulla ei ole hänen > artikkeliaan, vaan pelkkä MR:n review. Sen mukaan Dodd esittää aluksi > (sinänsä kiinnostavan) "käytännön" esimerkin kahden luvun > log-keskiarvosta tarkastelemalla tulojen jakautumista, kun tietyn > tulon saajien lukumäärä on kääntäen verrannollinen tulon suuruuteen. > Sitten hän tekee jokseenkin suttuiselta näyttävän yleistyksen n > luvulle. Sitä voitaneen perustella tuon tulonjakoesimerkin avulla, > mutta en viitsi alkaa miettiä miten. > > 3. Paremmalta näyttää A.O.Pittengerin (Amer. Math. Monthly 92 (1985) > 99-104, seuraavassa Pi) yleistys. Hän huomaa aluksi, että kahden > luvun log-keskiarvo voidaan esittää tietyn yksiulotteisen integraalin > käänteislukuna. Sen perusteella hän määrittelee n luvun > log-keskiarvon siirtymällä vastaavaan n-ulotteiseen integraaliin. > Laskiessaan tätä integraalia hän kohtaa (Pi, Lemma 4.2) saman > ongelman, minkä eteen sinä jouduit niiden Q(n,m):ien kanssa. > Pittenger(kään) ei ole pohjamutia myöten perehtynyt erotusosamääriin, > joten hän(kin) joutuu todistamaan asian induktiolla. > > 4. Koska Pittenger törmää samaan ongelmaan kuin sinä, niin on > odotettavissa, että hänen log-keskiarvonsa L(x1,...,xn) on > samanlainen tai ehkä jopa sama kuin sinun. Se ei näytä samalta, mutta > samoja piirteitä löytyy (Pi, propositio 4.1), sillä L(x1,...,xn)^(-1) > on (n-1) kertaa summa i:n yli murtolausekkeesta, jonka osoittajana on > xi^(n-2) log xi ja nimittäjänä tulo (xi - xj), missä j käy läpi muut > arvot paitsi i:n. > > 5. Musiikkimiehenä sinua kiinnostanee, että Pittenger esittelee > alaviitteessä itseään mm. seuraavasti: "My second profession is being > the only non-musician in our family of five and fulfilling our motto: > they play, I pay." > > 6. Sinun log-keskiarvosi on (SK, 18.9) logaritmeista lasketun > eksponenttifunktion (n-1). erotusosamäärä kerrottuna (n-1)!:lla. > Keskiarvoilla ja erotusosamäärillä näyttää olevan muitakin yhteyksiä. > Esimerkiksi helppo lasku (mikäli olen kiireessä tehnyt sen oikein) > osoittaa, että funktiolle f(x) = x^n (n on luonnollinen luku) lukujen > x0,...,xk k. erotusosamäärä (k < n+1) on vastaavien muuttujien > (n-k)-asteinen homogeeninen polynomi, jonka jokainen kerroin on 1. > Siis erityisesti lukujen x0,...,xn n. erotusosamäärä on 1 (kuten on > ollut aiemmin puhetta), mutta on myös kiinnostavaa, että lukujen > x0,...,x(n-1) (n-1). erotusosamäärä on x0+...+x(n-1) eli n kertaa > näiden lukujen aritmeettinen keskiarvo. Ehkä jokainen (tarpeeksi > siisti) keskiarvo saadaan tietyn funktion erotusosamääräkaaviolla. > Ehkä homma myös kääntyy eli jokaista (tietyt oletukset täyttävää) > funktiota vastaa tietty keskiarvo, johon päästään tämän funktion > erotusosamääräkaaviolla. > > 7. Käytyäni läpi MR:n tietokannan kaikki viitteet haulla "logarithmic > mean" minusta alkaa tuntua (otsikoiden ja reviewien perusteella) > siltä, ettei kukaan ole Pittengerin jälkeen tehnyt tässä > yleistysasiassa mitään. (Kenties on ajateltu, että Pittenger on > sanonut "viimeisen sanan" ja asia on loppuun käsitelty.) Siksi sinun > pitäisi ehdottomasti tarjota tulostasi julkaistavaksi ehkä mieluiten > juuri "Monthlyyn". Siihen on ainakin seuraavat kolme painavaa syytä. > Ensiksikin sinun log-keskiarvosi on yksinkertaisempi kuin > Pittengerin. Toiseksi eksponenttifunktion sarjakehitelmän nokkela > käyttö näissä keskiarvohommissa ansaitsee julkisuutta jo > sellaisenaan. Kolmanneksi olet tehnyt tämän yleistyksen jo 1976 eli > ennen Pittengeriä (mutta julkaisematta sitä). > > 8. Annan kopion Pittengerin artikkelista ja Doddin artikkelin > reviewistä Simolle, joka toimittaa sen edelleen sinulle, kun tulet > huomenna tänne. Palataan sen jälkeen asiaan. > > > -Terv. Jorma Olen jälleen suuresti ilahtunut ja kiitollinen siitä, että Jorma on lyhyessä ajassa saanut esiin kiinnostavia lisätietoja tästä aiheesta. Kommentoin muutamia hänen esittämiään huomioita: > 4. Koska Pittenger törmää samaan ongelmaan kuin sinä, niin on > odotettavissa, että hänen log-keskiarvonsa L(x1,...,xn) on > samanlainen tai ehkä jopa sama kuin sinun. Se ei näytä samalta, mutta > samoja piirteitä löytyy (Pi, propositio 4.1), sillä L(x1,...,xn)^(-1) > on (n-1) kertaa summa i:n yli murtolausekkeesta, jonka osoittajana on > xi^(n-2) log xi ja nimittäjänä tulo (xi - xj), missä j käy läpi muut > arvot paitsi i:n. Tuo on mielenkiintoista, mutta on hiukan vaikea silti uskoa, että se olisi sama kuin pirunnyrkkiesitys, koska siinä nimittäjässä on tulo log(xi/xj). Kannattaa joka tapauksessa tehdä vertailuja. Laskinkin tapauksessa n=3 numeerisen esimerkin eikä ainakaan se antanut samoja arvoja. > 6. Sinun log-keskiarvosi on (SK, 18.9) logaritmeista lasketun > eksponenttifunktion (n-1). erotusosamäärä kerrottuna (n-1)!:lla. Tämähän totesin samalla tavalla edellisessä viestissäni. > Keskiarvoilla ja erotusosamäärillä näyttää olevan muitakin yhteyksiä. > Esimerkiksi helppo lasku (mikäli olen kiireessä tehnyt sen oikein) > osoittaa, että funktiolle f(x) = x^n (n on luonnollinen luku) lukujen > x0,...,xk k. erotusosamäärä (k < n+1) on vastaavien muuttujien > (n-k)-asteinen homogeeninen polynomi, jonka jokainen kerroin on 1. > Siis erityisesti lukujen x0,...,xn n. erotusosamäärä on 1 (kuten on > ollut aiemmin puhetta), mutta on myös kiinnostavaa, että lukujen > x0,...,x(n-1) (n-1). erotusosamäärä on x0+...+x(n-1) eli n kertaa > näiden lukujen aritmeettinen keskiarvo. Tämäkin käy vastaavalla tavalla ilmi toisen viestini kaavasta (7). > Ehkä jokainen (tarpeeksi > siisti) keskiarvo saadaan tietyn funktion erotusosamääräkaaviolla. > Ehkä homma myös kääntyy eli jokaista (tietyt oletukset täyttävää) > funktiota vastaa tietty keskiarvo, johon päästään tämän funktion > erotusosamääräkaaviolla. Olen samaa mieltä, koska periaatteessa exp-funktion paikalle voidaan panna mikä tahansa (monotonisesti kasvava ja tietyt säännöllisyysehdot täyttävä) funktio. Liitin tänään LOGMEAN-moduliin uutena optiona (METHOD=4) logaritmisen keskiarvon laskennan erotuosamääräkaavion kautta. Se antaa samoja tuloksia kuin pirunnyrkki ja sarjakehitelmä, mutta pirunyrkin tapaan tulosten tarkkuus alkaa huveta jo arvon n=14 paikkeilla. Etsiskelin myös verkosta hakusanoilla "Lagrange" ja "divided difference" tietoja ja suoraan Wolfram Research:ilta löytyi http://mathworld.wolfram.com/DividedDifference.html josta on luettavissa suoraan tuo "pirunnyrkkisumman" ja (n-1). erotusosamäärän vastaavuus mielivaltaiselle funktiolle. Tähän asti kertyneen tiedon valossa ei kuitenkaan vaikuta siltä, että joku olisi havainnut esim. soveltaa ko. erotusosamäärää eksponenttifunktiolla ja todenneet sen kerrottuna luvulla (n-1)! olevan jollain tapaa mielekäs keskiluku. Keskilukuominaisuuden osoittavat erityisesti toisessa viestissäni esittämäni tulokset. Varsin tärkeä on yhteys sarjakehitelmään. - Seppo M.
| Vastaukset: |
|---|
Survo-keskustelupalstan (2001-2013) viestit arkistoitiin aika ajoin sukrolla, joka automaattisesti rakensi viesteistä (yli 1600 kpl) HTML-muotoisen sivukokonaisuuden. Vuoden 2013 alusta Survo-keskustelua on jatkettu entistäkin aktiivisemmin osoitteessa forum.survo.fi. Tervetuloa mukaan!