[vastaus aiempaan viestiin]
| Kirjoittaja: | Seppo Mustonen |
|---|---|
| Sähköposti: | - |
| Päiväys: | 18.9.2002 12:10 |
Olen saanut hyvän palautteen Jorma Merikoskelta Tampereen yliopistolta.
Olen nimittäin menossa Tampereelle yliopiston tilastotieteen
laitokselle kertomaan Survon uusimmista vaiheista ja lähetin
Simo Puntasen välityksellä kaksi ennakkotiedotetta, joita jälkimmäinen
(parin päivän takainen) oli seuraavanlainen:
- - - - - - - - - - -
Haluaisin tuoda tiedoksi niille, jotka ovat tulossa ensi perjantain
Survo-tapaamiseen, että olen lauantaina jatkanut Survon sivuilla
(www.survo.fi -> Keskustelu -> Logaritmisesta keskiarvosta)
omia pohdintojani.
Todistaakseni ns. pirunnyrkkiesityksen mainitulle tunnusluvulle,
olen joutunut todistamaan tietyt hassut identiteetit, joiden
uskoisin olevan joillekin tuttuja muista yhteyksistä.
Itse en vain satu tietämään.
Esim. Tapauksessa n=4 tarkastellaan lauseketta Q(4,k) =
u1^k u2^k u3^k
--------------------- + --------------------- + ---------------------
(u1-u2)(u1-u3)(u1-u4) (u2-u1)(u2-u3)(u2-u4) (u3-u1)(u3-u2)(u3-u4)
u^k
+ ---------------------
(u4-u1)(u4-u2)(u4-u3)
ja saadaan
Q(4,0)=Q(4,1)=Q(4,2)=0
ja
Q(4,3)=1
identtisesti kaikille reaalisille (ja ilmeisesti myös kompleksisille)
u1,u2,u3,u4 (ui<>uj).
Vastaava pätee yleisesti kaikille n (n=2,3,4,...),
kuten lauantaisessa tarkastelussani Survon sivuilla olen
osoittanut. Tässä nimittäjät ovat samoja kuin klassisessa Lagrangen
interpolointikaavassa mutta osoittajat jotain aivan muuta.
Siis, jos tässä on jotain tuttua, niin olisi mukava
kuulla siitä viimeistään perjantaina.
Älkäätte kuitenkaan nähkö liikaa vaivaa tämän takia!
Terveisin
Seppo
- - - - - - - - - - -
Simo ystävällisesti oli pannut tiedon kiertämään ja tänä aamuna 18.9
tuli minulle suoraan Jorma Merikoskelta seuraavanlainen viesti:
- - - - - - - - - - -
(Simo tiedusteli)
>Ovatkohan nämä SM:n johtamat kaavat tuttuja matemaatikoille?
Ovat.
>Esim. Tapauksessa n=4 tarkastellaan lauseketta Q(4,k) =
>
> u1^k u2^k u3^k
>--------------------- + --------------------- + ---------------------
>(u1-u2)(u1-u3)(u1-u4) (u2-u1)(u2-u3)(u2-u4) (u3-u1)(u3-u2)(u3-u4)
>
> u^k
> + ---------------------
> (u4-u1)(u4-u2)(u4-u3)
>
Pisteiden u1,...,u4 määräämälle funktion f(u) = u^k kolmannen
kertaluvun erotusosamäärälle (ks. esim. Lindelöf I, luku I.5) voidaan
johtaa tämä lauseke. Lindelöf ei tosin näytä tekevän niin, sillä hän
hoitaa (s. 36) erotusosamäärien symmetrisyyden (johon tätä lauseketta
tarvitaan) muulla tavalla, mutta vastaavan yleisen tuloksen pitäisi
löytyä jokaisesta hyvästä numeerisen matematiikan oppikirjasta (ks.
esim. Fröbergin "Lärobok", s. 159).
>ja saadaan
>Q(4,0)=Q(4,1)=Q(4,2)=0
>ja
Tämä sopii yhteen sen kanssa, että funktion f(u) = u^k (k = 0, 1, 2)
kaikki kolmannen kertaluvun erotusosamäärät ovat nollia.
>Q(4,3)=1
>identtisesti kaikille reaalisille (ja ilmeisesti myös kompleksisille)
>u1,u2,u3,u4 (ui<>uj).
Tämä sopii yhteen sen kanssa, että funktion f(u) = u^3 kaikki
kolmannen kertaluvun erotusosamäärät ovat ykkösiä.
>Vastaava pätee yleisesti kaikille n (n=2,3,4,...),
Tämä taas sopii yhteen vastaavien yleisten tulosten kanssa (ks. esim.
Lindelöf I, s. 42 ja 44).
>kuten lauantaisessa tarkastelussani Survon sivuilla olen
>osoittanut. Tässä nimittäjät ovat samoja kuin klassisessa Lagrangen
>interpolointikaavassa mutta osoittajat jotain aivan muuta.
Vihdoin tämä sopii yhteen sen kanssa, että Lagrangen polynomi voidaan
muodostaa käyttämällä erotusosamääriä (ks. esim. Lindelöf I, s. 43).
-Terv. Jorma
- - - - - - - - - - -
Olen todella kiitollinen Jorma Merikoskelle näistä kommenteista.
Johtuen käsittelemäni ongelman luonteesta en mitenkään tullut
ajatelleeksi, että ko. lausekkeilla olisi jotain tekemistä
erotusosamäärien kanssa, etenkin kun en ole koskaan (muistaakseni)
nähnyt niille tuollaisia esitysmuotoja.
Alustavat tarkasteluni noiden kommenttien jälkeen viittaavat siihen,
että logaritmisen keskiarvon yleistykseni on sama kuin
havaintojen x1,...,xn logaritmeista ui=log(x1), i=1,...,n
lasketun eksponenttifunktion (n-1)-kertaluvun erotusosamäärä kerrottuna
(n-1)-kertomalla.
Siis esim. tapauksessa n=3 saadaan
funktion erotusosamäärä 2. kertaluvun erotusosamäärä
arvo
exp(u1)
exp(u2)-exp(u1)
---------------
u2-u1
exp(u2)-exp(u1) exp(u3)-exp(u2)
--------------- - ---------------
u2-u1 u3-u2
exp(u2) -----------------------------------
u3-u1
exp(u3)-exp(u2)
---------------
u3-u2
exp(u3)
mistä tuo 2. kertaluvun erotusosamäärä on muunnettavissa
pirunyrkkimuotoon
exp(u1) exp(u2) exp(u3)
-------------- + -------------- + --------------
(u1-u2)(u1-u3) (u2-u1)(u2-u3) (u3-u1)(u3-u2)
vailla tekijää (n-1)! (=2 tässä tapauksessa).
Tässä on todella mielenkiintoista mm. se, että (n-1)-kertaluvun
erotusosamäärä (vakiokerrointa vaille) on tulkittavissa keskiluvuksi.
Ehkä tämä on vuorostaan tuttua joillekin.
- Seppo M.
| Vastaukset: |
|---|
Survo-keskustelupalstan (2001-2013) viestit arkistoitiin aika ajoin sukrolla, joka automaattisesti rakensi viesteistä (yli 1600 kpl) HTML-muotoisen sivukokonaisuuden. Vuoden 2013 alusta Survo-keskustelua on jatkettu entistäkin aktiivisemmin osoitteessa forum.survo.fi. Tervetuloa mukaan!