Geometrisen konstruktion tilastollinen tarkkuus

[viesti Survo-keskustelupalstalla (2001-2013)]

Kuten ehkä tammikuun lopussa lähettämästäni viestistä
"Ympyrän likimääräisestä neliöimisestä"
http://www.survo.fi/arkisto/001256.html 
saattaa päätellä, olen ollut viime aikoina kiinnostunut
mm. klassisista harppi-viivoitin-konstruktioista.

Havaittuani, että geometristen konstruktioiden yksinkertaisuuden
mittaamiseksi ranskalainen matemaatikko Emile Lemoine (1840-1912)
oli kehittänyt 1880-luvulla geometrografiaksi kutsumansa
laskentatavan, syntyi ajatus tarkastella asiaa myös tilastolliselta
kannalta.
Tämä ajatus on erilaisten polveilujen kautta - kamppailtuani
asiasta itseni kanssa puolisen vuotta - johtanut tarinaan

Statistical accuracy of geometric constructions
http://www.survo.fi/papers/GeomAccuracy.pdf 
jota tulen vielä lähiaikoina viimeistelemään.

Geometrografiassa Lemoine katsoo konstruktion syntyvän seuraavien
perustoimintojen välityksellä:

S1: Aseta viivoitin kulkemaan annetun pisteen kautta.
S2: Piirrä viivoittimella suora.
C1: Aseta harpin kärki (kumpi tahansa) tiettyyn pisteeseen.
C2: Aseta harpin kärki viivalle (suoralle tai ympyrälle).
C3: Piirrä ympyrä harpilla.

Jos konstruktiossa noiden perustoimintojen lukumäärät ovat
m1, m2, n1, n2 ja n3, Lemoinen yksinkertaisuusmitta (simplicity)
konstruktiolle on näiden suora summa S=m1+m2+n1+n2+n3 ja tarkempi
kuvaus on "symboli" m1*S1+m2*S2+n1*C1+n2*C2+n3*C3.

Esimerkki: Kohtisuoran piirto pisteestä P suoralle L
1. Piirretään sopivansäteinen ympyrä, jonka keskipiste on P ja
joka leikkaa suoran L pisteissä Q ja Q' (symboli C1+C3).
2. Piirretään samansäteiset ympyrät keskipisteinään Q ja Q'
(symboli 2*C1+2*C3).
3. Olkoon P' toinen em. ympyröiden leikkauspisteistä.
Vaadittu kohtisuora on pisteiden P ja P' kautta kulkeva suora
(symboli 2*S1+S2).
Siis koko konstruktion symboli on 2*S1+S2+3*C1+3*C3 ja
yksinkertaisuus S=9.

Lemoine itse ja hänen jälkeensä muutkin matemaatikot ovat käyttäneet
yksinkertaisuusmittaa S vertaillessaan samaan tavoitteeseen tähtääviä
tasogeometrisia konstruktioita eli "mitä pienempi S, sitä parempi
konstruktio".

Tuo tarkastelutapa on tietenkin osittaisessa mielivaltaisuudessaan
herättänyt jonkin verran arvostelua, koska siinä lasketaan raa'asti
yhteen selvästi yhteismitattomia suureita. Varmaan tästäkin syystä
geometrografia näyttää hiljalleen painuneen unholaan.
Ilmeisesti viimeinen varteenotettava tutkimus aiheesta on julkaistu
vuonna 1991. Siinä Duane DeTemple tarkastelee etupäässä säännöllisten 5-
ja 17-kulmioiden konstruktioita Lemoinen hengessä. Viittaan tähän
artikkeliin juttuni useassa kohdassa.

Mielestäni Lemoinen mitta toimii kyllä käytännössä hieman paremmin
kuin mitä siitä suoraan voisi päätellä. Lemoine on määritellyt
lyhyemmän tarkkuusmitan (Exactitude) E=m1+n1+n2, jonka komponentit
(piirtovälineiden kohdistaminen annettuun paikkaan) ovat ymmärtääkseni
selvemmin yhteismitallisia. Hän ei - eikä ilmeisesti kukaan muukaan -
ole havainnut, että käytännössä mittojen S ja E välillä näyttää
olevan huikea (yli 0.99) korrelaatio eli S ei tarjoa mitään olennaista
lisäinformaatiota mittaan E verrattuna.

Lemoinen tarkkuusmittaankin (E) tulee suhtautua kriittisesti.
Se ei lainkaan ota huomioon, että geometrisen kuvion piirtämisessä
todellisella harpilla ja viivoittimella pienetkin virheet kasautuvat
eri tavoin riippuen mm. siitä, miten peräkkäiset konstruktiovaiheet
ketjuuntuvat. Mitta E ei siis kerro koko totuutta ainakaan
tilastollisessa katsannossa.

On mielestäni luonnollista olettaa, että esim. asetettaessa harpin
(kumpaa tahansa) kärkeä tiettyyn pisteeseen, se ei osu tarkkaan
paikalleen ja osumapisteellä on virhejakauma, joka on kaksiulotteisesti
normaalinen.
Yksinkertaisin jatko-oletus on tällöin, että virhevarianssi on sama
vakio s^2 joka suuntaan (Malli 0). Jakaumamallia olen yrittänyt yleistää
siten, että jakauman muoto riippuu pisteen luonteesta. Jos kyseessä
on esim. kahden suoran leikkauspiste, varianssi olisi suurinta
suorien välisen terävän kulman puolittajan suunnassa ja pienintä
kohtisuorassa suunnassa. Olen tehnyt näin kahdellakin tavalla
(Mallit 1 ja 2), mutta molemmat näennäisestä järkevyydestään huolimatta
saattavat johtaa ristiriitaisuuksiin ja kummallisuuksiin mm. siten, että
konstruktiota monimutkaistamalla olisi mahdollista parantaa tarkkuutta.
Näin itse asiassa palattaisiinkin lähelle mallin 0 mukaista tilannetta.
Koska mallien kokeilussa on käynyt ilmi, että ne antavat hyvin saman-
kaltaisia tuloksia, olen päätynyt käyttämään yksinkertaisinta 0-mallia.

Konstruktioiden esittämiseksi on tarjolla monenlaisia valmiita ohjelmia,
mutta ne ovat tässä yhteydessä riittämättömiä, koska niihin ei voi
liittää tilastollisia virhetarkasteluja.
Olen siksi tehnyt uuden Survo-modulin GEOM
a. konstruktioiden kuvaamiseksi,
b. "tarkkojen" konstruktioiden piirtoon,
c. konstruktioiden tilastollisen tarkkuuden laskemiseksi.

Vaihe a. tapahtuu toimituskenttään kirjoitetun, konstruktion vaiheet
kertovan koodin avulla.

GEOM ei itse piirrä mitään, vaan vaihe b. tapahtuu valmiilla Survon
PLOT-kaavioilla, joita varten GEOM luo eri geometrisia objekteja
(pisteet, suorat, ympyränkaaret, janat, jne.) kuvaavat datatiedostot.

Vaihe c. tapahtuu Monte Carlo -menetelmällä (simuloimalla), jolloin
GEOM tekee esim. n=100'000 kertaa saman konstruktion käyttäen vakio-
perushajontaa s valitun virhemallin mukaisesti. Tuloksena syntyy
n havainnon tekstitedosto, joka on helppo muuntaa Survon datatiedostok-
si. Sitten voidaan Survon normaaleilla operaatioilla laskea arvio
konstruktion tarkkuudelle.
Vaihetta c. ei nähdäkseni ole kovinkaan helppo korvata tarkoilla
kaavoilla ja laskelmilla, sillä jo yksinkertaisimmissakin tapauksissa
jouduttaisiin hankalien moninkertaisten integraalien määräämiseen.

Jutussani olen tarkastellut esimerkkeinä erilaisia säännöllisen
5-kulmion konstruointitapoja ja vertaillut niiden tarkkuuksia.
Toinen sovellusalueeni on ollut "ympyrän likimääräinen neliöiminen",
jossa lähestymistapani antaa uusia mahdollisuuksia erilaisten
menettelyjen vertailuun. Osoittautuu, että riippuu olennaisesti
perustarkkuudesta s, mikä konstruointitapa antaa parhaan tuloksen.

Uusi GEOM-ohjelma tulee mukaan SURVO MM:n versiosta 3.01 lähtien.
Sen voi liittää vanhempiinkin versioihin osoitteesta
http://www.survo.fi/tmp/_geom.exe 
ja tällöin on syytä ladata myös toimituskenttä _GEOM.EDT
http://www.survo.fi/tmp/_GEOM.EDT 
joka toimii mallipohjana mille tahansa GEOM-sovellukselle.

Edellä esittämäni nojalla lienee ymmärrettävää, ettei Lemoinen
aikaan eikä edes ehkä 40 vuotta sitten olisi voitu ajatellakaan
tällaista tilastollista geometristen konstruktioiden tarkastelua.
Merkillisellä tavalla kuitenkin ajattelussani on esim. sikäli
samankaltaisuutta, että päädyin ottamaan GEOM-ohjelman koodi-
varantoon myös suorat komennot mm. kohtisuorien ja yhdensuuntaisten
suorien piirtämiseen tavalla, joka vastaa kulmaviivoittimen
(square ruler) käyttöä. Huomasin vasta jälkeenpäin, että Lemoine on
tehnyt saman ainakin vuonna 1902 Amerikan matemaattiselle yhdistykselle
pitämässään esitelmässä.

Seppo Mustonen

Luettelo keskustelunaiheista

Survo-keskustelupalstan (2001-2013) viestit arkistoitiin aika ajoin sukrolla, joka automaattisesti rakensi viesteistä (yli 1600 kpl) HTML-muotoisen sivukokonaisuuden. Vuoden 2013 alusta Survo-keskustelua on jatkettu entistäkin aktiivisemmin osoitteessa forum.survo.fi. Tervetuloa mukaan!