Kilpatehtävä 7

[viesti Survo-keskustelupalstalla (2001-2013)]

Tämä kilpatehtävä on tarkoitettu opiskelijoille ja palkintona
on tarjolla ilmainen osallistuminen Survon käyttäjäyhdistyksen
risteilyyn

http://www.survo.fi/cgi/board/board.cgi? read=001257-000000.msg area=keskustelua_survosta 

to 17.4 - la 19.4 A-luokan 2 hengen hyteissä.
Matkan arvo on noin 240 euroa.

Mukaan pääsee 4 parhaiten tehtävästä suoriutunutta opiskelijaa
käyttäjäyhdistyksen ja Survo Systemsin kustannuksella.

Vastaukset tulee lähettää sähköpostitse 12.3.2008 mennessä osoitteeseen
seppo.mustonen(at)survo.fi

Tehtävä:
========

Helsingin yliopiston tilastotieteen opiskelijoiden yhdistys Moodi ry
täytti äskettäin 40 vuotta. Juhlan kunniaksi annoin Moodin jäsenille
tehtävän, jonka ratkaisijoiden keskuudesta arvottiin vuosijuhlassa
16.2 voittaja. Tehtävän oikein ratkaisseita oli viisi, jolloin
vastaan tuli "ongelma", miten arpoa voittaja. Tämä tehtiin siten,
että ratkaisijat numeroitiin luvuilla 1,2,3,4,5 ja sitten heitettiin
harhattomaksi uskottua noppaa, joka antoi silmäluvun 3, jolloin
ratkaisija 3 voitti luvatun palkinnon. Kuutosen sattuessa olisi
heittämistä jatkettu, kunnes saadaan jokin silmäluvuista 1-5.
Tarvittavien heittojen lukumäärä noudattaa geometrista jakaumaa ja
odotusarvoksi tulee 6/5=1.2 .
Nopan harhattomuuden suhteen voi kuitenkin olla epäluuloinen, jolloin
arvontavälineenä kolikko saattaisi olla parempi :)

Tehtävänä on nyt tutkia, miten tasapuolinen arvonta "yksi viidestä
vaihtoehdosta" onnistuu parhaiten kolikonheitolla, kun tehdään
seuraavat olettamukset:

1) heittojen tulokset (kruuna tai klaava) ovat toisistaan
   riippumattomia,
2) Kruuna saadaan tuntemattomalla, kiinteällä todennäköisyydellä p ja
   klaava todennäköisyydellä 1-p.

Ratkaisussa tulee tarkastella erikseen tapausta p=1/2 ja tapausta
p on tuntematon vakio. Erityisen kiinnostavaa on tietää (kummassakin
tapauksessa erikseen), mikä on optimaalinen päättelysääntö, jolla
voittaja saadaan selville keskimäärin vähimmällä heittojen lukumäärällä
ja mikä tuo heittojen lukumäärän odotusarvo tällöin on.
Ratkaisun arvoa kohottaa, jos saa selville muutakin heittomäärän
jakaumasta ja pystyy yleistämään tulokset arvontaan "yksi n vaihto-
ehdosta".
Lisäpisteitä tuottaa sekin, että osaa soveltaa Survoa tehtävän
ratkaisussa. Tehtävää saa tarkastella myös simulointikokeilla.

Tämä tehtävän on tapauksessa n=2, p tuntematon esittänyt John von
Neumann (huomattava 1900-luvun matemaatikko) vuonna 1951, kts. esim.
http://en.wikipedia.org/wiki/Fair_coin 
ja näin hän lienee ensimmäisenä havainnut, miten harhaistakin lanttia
voi käyttää tasapuoliseen arvontaan.

Seppo Mustonen

• Re: Kilpatehtävä 7 (Seppo Mustonen 14.3.2008 18:52)

Luettelo keskustelunaiheista

Survo-keskustelupalstan (2001-2013) viestit arkistoitiin aika ajoin sukrolla, joka automaattisesti rakensi viesteistä (yli 1600 kpl) HTML-muotoisen sivukokonaisuuden. Vuoden 2013 alusta Survo-keskustelua on jatkettu entistäkin aktiivisemmin osoitteessa forum.survo.fi. Tervetuloa mukaan!