Ympyrän likimääräisestä neliöimisestä

[viesti Survo-keskustelupalstalla (2001-2013)]

Olen aikaisemminkin leikitellyt tällä aiheella piirtämällä kuvan, jossa
ympyrä vaiheittain muuttuu neliöksi, kts.
http://www.survo.fi/galleria/044.html 
Se ei kuitenkaan vastaa matematiikan historiasta tunnettua
"ympyrän neliöimistä", jolla tarkoitetaan sellaisen neliön piirtämistä
käyttäen pelkästään harppia ja viivainta, että neliön pinta-ala
on täsmälleen sama kuin annetun valmiiksi piirretyn ympyrän pinta-ala.
Jos ympyrän säde on r ja neliön sivunpituus a, niiden pinta-alat ovat
pi*r^2 ja a^2, jolloin vaaditaan, että a=sqrt(pi)*r. Tässä pi on
ympyrän kehän ja halkaisijan pituuksien suhteena tunnettu vakio
pi=3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494...
ja sen neliöjuuri sqrt(pi)
1.77245385090551602729816748334114518279754945612238712821380778985...
on tuo kerroin jonka ilmaisee vaaditun neliön sivun pituuden suhteen
ympyrän säteeseen.

Tämä kovasti matemaatikkoja askarruttanut ongelma kadotti merkityksensä,
kun 1800-luvun lopulla saksalainen matemaatikko Lindemann osoitti, että
pi ja samoin sen neliöjuuri eivät ole algebrallisia lukuja, jolloin tuli
samalla todistetuksi, että ympyrän neliöinti harpilla ja viivaimella
on mahdoton tehtävä.

Jotkut eivät tätä vieläkään usko tai tiedä ja siksi ajoittain
ilmaantuu ehdotuksia tämän mahdottoman tehtävän ratkaisuksi.

Tämä kirjoitus sai alkunsa siitä, että erään suuren yrityksen
pääluottamusmies soitti minulle ja väitti, että hän pystyy neliöimään
ympyrän harpilla ja viivaimella. Yritin kauniisti selittää, ettei se
ole tarkasti ottaen mahdollista ja että se on tiedetty jo yli sata
vuotta sitten. Annoin hänelle kuitenkin osoitteeni, jotta hän voisi
näyttää, mitä oli tehnyt. Osoittautui, että hänen yksinkertainen
konstruktionsa antoi tuloksen noin 4 prosentin tarkkuudella. Kun kerroin
tästä, hän lähetti uuden ehdotuksen, mutta se oli vielä huonompi.

Jostain syystä asia jäi kaivelemaan mieltäni siinä suhteessa, että
löytyykö sellaisia harppi-viivain-konstruktioita, joilla saavutetaan
periaatteessa todella hyvä tarkkuus.
Katselin erilaisia lähteitä ja löytyihän niitä esim. Wikipedian kautta
http://en.wikipedia.org/wiki/Circle_Squaring 
missä parhaana mainitaan Ramanujanin 8 desimaalin tarkkuuden
tuottava konstruktio.

Syntyi idea kokeilla asiaa tilastollisesta näkökulmasta tekemällä
ohjelma, joka arpoo pisteitä (x,y), missä x,y=0,1,2,...,16
(tietyin rajoituksin)
yhdistäen niitä kaksittain suorilla ja pannen muistiin esim. 3000
kappaletta sellaisia suorien leikkauspisteitä (u,v), joilla 0<=u,v<=16.
Sitten lasketaan kaikkien näiden leikkauspisteiden välisten
etäisyyksien neliöt ja lajitellaan ne nousevaan suuruusjärjestykseen.
Karsitaan alusta pienimmät (etäisyys alle 4) ja katsotaan
yksinkertaisella läpikäynnillä ja haarukoinnilla, mikä etäisyyksien
neliöiden suhteista on lähinnä pi:n arvoa. Yksi tällainen koe kestää
koneellani noin puoli minuuttia.
On siis etsittävä "kahta neulaa heinäsuovasta" niin, että niiden
pituuksien suhde vastaa toivottua. Tässä mahdollisuus panna kaikki
korret keon asemasta suuruusjärjestykseen (noin miljoonan korren
lajittelu) tietenkin helpottaa etsintää.

Olen toistanut kokeen nyt joitakin tuhansia kertoja ja
paras tulos on Survolla piirrettynä tiedostossa
http://www.survo.fi/papers/p34838.pdf 

Kun lähdetään puhtaalta pöydältä, olisi ensin konstruoitava tuo
16x16-ruudukko, mikä vaatii lukuisia ympyränkaaren ja suorien vetoja,
mutta sen jälkeen lopullinen tulos syntyy yhdistämällä 16 ruudukon
pistettä 8 suoralla. Kuvassa ympyrän sädettä vastaa punainen jana ja
neliön sivua pitempi sininen jana.

Ratkaisu ei varmasti monen matemaatikon mielestä ole kovin elegantti,
mutta se on "käytännössä" selkeämpi ja tarkempi kuin mikään tähän asti
näkemäni, etenkin kun otetaan huomioon, että se antaa (periaatteessa)
ympyrän ja neliön pinta-alojen suhteen ykkösenä 16 desimaalin
tarkkuudella ja konstruktio syntyy olennaisesti pelkän viivaimen avulla.
Todellisuudessa (kun siis mittaa jälkikäteen janojen pituudet kuviosta)
mikään tällainen konstruktio ei ole läheskään niin tarkka kuin se on
periaatteessa.

Ruudukon rakentaminen on hyvin helppo tehtävä ja vain siinä tarvitaan
myös harppia. Voipa vedota Kroneckerin tunnettuun toteamukseen:
"Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist
Menschenwerk" eli "Jumala loi kokonaisluvut, kaikki muu on ihmisen
tekemää". Senhän voisi ulottaa myös tason kokonaislukupistepareihin ja
näin ruudukkoa (ruutu- tai millimetripaperi) voisi pitää valmiiksi
annettuna.
Myös esim. geometrisiin konstruktioihin tarkoitetuissa ohjelmissa
(esim. GEUP3) kokonaislukupisteet saa käyttöön suoralla valinnalla.

Koska alkuperäisten pisteiden koordinaatit ovat kokonaislukuja,
leikkauspisteiden koordinaatit samoin kuin näiden pisteiden välisten
etäisyyksien neliöt ovat rationaalilukuja ja tässä tapauksessa po. kuvan
tapauksessa neliön sivun ja ympyrän säteen pituuksien suhteeksi tulee

2439604544650/776550244941=3.1415926535897931067...
                        pi=3.1415926535897932384...

Olen kokeillut tätä tilastollista lähestymistapaani myös pienemmissä
kuin 16x16-ruudukossa. Kun ruudukko on nxn, tulokset näyttävät
seuraavilta:

   n    osoittaja/nimittäjä   "pi"             tarkkuus
   -----------------------------------------------------
   2        41 / 13           3.15...         1.2*10^(-2)
   3     22321 / 7105         3.141590...     2.2*10^(-6)
   4   5311453 / 1690688      3.1415926534... 1.8*10^(-10)

Saadut tulokset ovat mitä ilmeisimmin näillä pienillä ruudukoilla
parhaat, mitä tällä leikkauspistetekniikalla on saavutettavissa.
Tapauksessa n=16 saattaa löytyä vielä parempia tuloksia kuin nyt
saavutettu 15 desimaalin tarkkuus.

Tapausta n=4 vastaava konstruktioni (joka siis antaa 9 desimaalin
tarkkuuden) löytyy osoitteesta
http://www.survo.fi/papers/p100274.pdf 
Jo se antaa olennaisesti tarkemman tuloksen kuin tuntemani aikaisemmat
ratkaisut. Ymmärtääkseni se on myös paljon alkeellisempi kuin nuo muut
ja "periaatteellisessa käytännössä" helpompi ja tarkempi toteuttaa.
Periaatteellista tarkkuutta lisää sekin, että kaikki 4 tärkeää
pistettä "sattuvat olemaan" miltei kohtisuorien suorien
leikkauspisteitä.

Ramanujanin 8 oikeaa pi:n desimaalia antava ratkaisu lähtee liikkeelle
havainnosta pi^4=97.409091034002429... eli luvun pi neljäs potenssi on
melko tarkkaan sama kuin 97.409090909090909..., joka on esitettävissä
murtolausekkeena 97+2/5+1/110=81+361/22, jolloin kyseinen pi:n likiarvo
on neljäs juuri luvusta 9^2+19^2/22 eli 3.141592652...
Tämän tiedon avulla Ramanujan on laatinut elegantin konstruktion, mutta
se on mielestäni huomattavasti mutkikkaampi kuin omani.
Käsityksen konstruktion luonteesta saa sivulta
http://en.wikisource.org/wiki/Image:Approximately_squaring_the_circle.svg 
jolla on esitetty vaiheittain Ramanujanin hiukan vastaavanlainen
konstruktio pi:n historiallisesti merkittävälle, mutta karkeammalle
likiarvolle 355/113=3.1415929...

Luettelo keskustelunaiheista

Survo-keskustelupalstan (2001-2013) viestit arkistoitiin aika ajoin sukrolla, joka automaattisesti rakensi viesteistä (yli 1600 kpl) HTML-muotoisen sivukokonaisuuden. Vuoden 2013 alusta Survo-keskustelua on jatkettu entistäkin aktiivisemmin osoitteessa forum.survo.fi. Tervetuloa mukaan!