Re: Survival analysis - T ~ exp(a) , ESTIMATE?

[vastaus aiempaan viestiin]

Tutkailin hieman ESTIMATEa siinä mielessä, että josko osaisin muodostaa
yksinkertaisen elinaikamallin ao. esimerkkiaineistosta

y = (1,1,1,1+,4+,5,7,8,10,10+,12+,16,+16,+16+)

jossa
luvut ovat seurannan kestoja, joko tapahtuma tai sitten sensurointi (+)
Muutetaan yllä oleva elinaika-aineistoksi

DATA _S1
time event
1     1
1     1
1     1
1     0
4     0
5     1
7     1
8     1
10    1
10    0
12    0
16    0
16    0
16    0


otoskoko n=14

event osoittaa, onko kyseessä tapahtuma (1) vai sensurointi (0)

FILE COPY _S1 TO NEW S1

Eksponenttimalli:
Jos oletetaan, että aika T noudattaa eksponenttijakaumaa, niin
sen tiheysfunktio
f(t) = a*exp(-a*t) ,

tapahtuman välttötodennäköisyys (survivor)
S(t) = exp(-a*t) ja

tapahtuman "intensiteetti" (hasardifunktio)
h(t) = a (vakiointensiteetti).

Pätee, että f(t)=h(t)*S(t).

Aineistossa S1 tapahtumia  d=7 kpl ja sensurointeja n-7= c=7 kpl

Uskottavuusfunktio L(a|t) on nyt muotoa

L(a) = prod_{i=1}^{n} f(t_{i})
     = prod_{i=1}^{d} a*exp(-a*t_{i}) *
       prod_{i=d+1}^{n} exp(-a*c_{i})

     = a^d*exp(-a*Sum_{i=1}^{n} t_{i}+c_{i}) . (1)

Käytin LaTex-tyyppisiä merkintöjä (toiv. ei mutkista asioita):
prod_{i=1]^{n} tarkoittaa tulosymbolia, jossa i = 1,2,..,n.
t_{i} = t alaindeksillä i
Sum_{i=1}^{n} = summasymboli

Yhtälössä (1) viimeisellä rivillä
Sum_{i=1}^{n} t_{i}+c_{i} on kokonaisseurannassaoloaika, jota voi
merkata s:llä.

Log-uskottavuusfunktio
l(a) = d*log(a) - a*s

ja
l'(a) = d/a - s , l''(a) = -d/a^2 < 0 .

SU-estimaattori a:lle on siis d/s.

Aineistosta s:n saa vaikka:
STAT S1,CUR+1 / RESULTS=0 / VARS=time / SUMS=1
Basic statistics: S1 N=14
Variable: time     (####)
min=1        in obs.#1
max=16       in obs.#12
mean=7.714286 stddev=5.79693  skewness=0.208012 kurtosis=-1.439682
sum1=108
autocorrelation=0.9717
lower_Q=1        median=8        upper_Q=12

Kun s=108, niin est(a) = d/s=0.06481481481481. Hasardi on siis helppo
laskea STATin avulla exponenttijakauman tapauksessa.

Oikeastaan kysymykseni tulee tässä:
Kuinka ESTIMATEa käytettäisiin yo. tilanteessa? En oikein osannut
muodostaa l(a):ta datan S1 muuttujista (sensuroinnit riesana?).

t. Petri

• Re: Survival analysis - T ~ exp(a) , ESTIMATE? (Seppo Mustonen 25.11.2004 16:53)

Luettelo keskustelunaiheista

Survo-keskustelupalstan (2001-2013) viestit arkistoitiin aika ajoin sukrolla, joka automaattisesti rakensi viesteistä (yli 1600 kpl) HTML-muotoisen sivukokonaisuuden. Vuoden 2013 alusta Survo-keskustelua on jatkettu entistäkin aktiivisemmin osoitteessa forum.survo.fi. Tervetuloa mukaan!