Kilpatehtävä 4

[viesti Survo-keskustelupalstalla (2001-2013)]

Tämä kilpatehtävä on tarkoitettu opiskelijoille ja palkintona
on tarjolla ilmainen osallistuminen Survon käyttäjäyhdistyksen
vuosittaiseen risteilyyn to 22.4 - la 24.4 A-luokan 2 hengen
hyteissä. Matkan arvo on noin 220 euroa.
(Kts. ilmoitusta tässä keskusteluryhmässä).

Jo useana vuonna Survosta kiinnostuneille opiskelijoille on tarjottu
vastaavaa tilaisuutta erilaisin perustein.
Nyt valinta tapahtuu tämän kilpailun kautta ja mukaan pääsee
ainakin 6 opiskelijaa käyttäjäyhdistyksen ja Survo Systemsin
kustannuksella.
Jos tunnet aitoa kiinnostusta asiaan, kannattaa ehdottomasti osallistua,
vaikka et mielestäsi saisi "juuri mitään" irti tehtävästä.
Muutkin kuin opiskelijat saavat osallistua, mutta heitä palkitaan
vain kunnianosoituksilla.
Myöhemmissä viesteissäni ja risteilyllä tulen käsittelemään
osanottajien vastauksia pyydettyäni ja saatuani siihen erikseen
kultakin luvan.

Vastaukset tulee lähettää sähköpostitse 15.3.2004 mennessä osoitteeseen
seppo.mustonen@survo.fi

Tehtävässä on kaksi erilaista vaihtoehtoa:
1) |EXAMPLE|-sukrojen laadinta
2) Etäisyysjakaumaongelman ratkaiseminen
Riittää vastata jompaankumpaan mutta saa vastata molempiinkin.

Tehtävä 1: |EXAMPLE|-sukrot
===========================
Tämä on täsmälleen sama tehtävä kuin viimevuotisessa kisassa eli
tulisi laatia yksi tai useampia Survon käyttöä havainnollistavia
sukroja.
Tehtävästä on tarkempi (viimevuotista koskeva) kuvaus tässä
keskusteluryhmässä otsikolla "Kilpatehtävä 3: Sukrojen teko".

Vaihtoehtoinen tehtävä:
=======================
Tehtävä 2: Etäisyysjakaumaongelman ratkaiseminen
================================================
Ongelma liittyy "etäisesti" omaan, 40 vuotta sitten tekemääni,
matematiikan väitöskirjatyöhöni "On distance distributions in networks",
mutta sen tuntemisesta ei tehtävän ratkaisun kannalta ole mitään
apua :)

Tarkastellaan n x n -pisteen (*) muodostamaa neliönmuotoista
"katuverkkoa" (kuvassa on tapaus n=5).

     *--*--*--*--*
     |  |  |  |  |
     *--X--*--*--*
     |  |  |  |  |
     *--*--*--*--*
     |  |  |  |  |
     *--*--*--*--Y
     |  |  |  |  |
     *--*--*--*--*

Näistä n*n pisteestä valitaan umpimähkään, toisistaan riippumatta
kaksi pistettä (yllä X ja Y ovat valitut pisteet) ja olkoon D
niiden välinen etäisyys verkkoa pitkin (eli tässä tapauksessa
D on 2+3=5 yksikköä).
Kun n=5, D voi saada arvoja 0,1,2,...,8 ja yleisesti n*n-verkossa
mahdolliset D-arvot ovat 0,1,2,...,2n-2.
Jokaisella etäisyydellä D on tietty todennäköisyys ja nämä
todennäköisyydet määräävät sen jakauman.

Yksinkertaisimmassa tapauksessa n=2

  2 *--*
    |  |
  1 *--*
    1  2

mahdolliset X-Y-valinnat (16 kpl.) ja niitä vastaavat etäisyydet D ovat

  X      Y     D               X      Y     D
(1,1)  (1,1)   0             (2,1)  (1,1)   1
(1,1)  (1,2)   1             (2,1)  (1,2)   2
(1,1)  (2,1)   1             (2,1)  (2,1)   0
(1,1)  (2,2)   2             (2,1)  (2,2)   1
(1,2)  (1,1)   1             (2,2)  (1,1)   2
(1,2)  (1,2)   0             (2,2)  (1,2)   1
(1,2)  (2,1)   2             (2,2)  (2,1)   1
(1,2)  (2,2)   1             (2,2)  (2,2)   0

eli D-jakauma on seuraava:

             D     0     1     2
Todennäköisyys    4/16  8/16  4/16
           eli    1/4   1/2   1/4

Etäisyyden odotusarvo (keskiarvo) on siis 1/4*0+1/2*1+1/4*2=1
(jo jakuman symmetrisyyden vuoksi) ja keskihajonnaksi tulee
sqrt(1/4*0*0+1/2*1*1+1/4*2*2-1*1)=sqrt(1/2)=0.7071...

Tässä on suurin piirtein kaikki, mitä voidaan sanoa tapauksesta n=2.

Varsinaisena tehtävänä on nyt tutkia tapauksia n=3,4,5,...
tukeutuen olennaisesti Survon tarjoamiin aineistonkäsittely- ja
laskentakeinoihin.
Käytettävissä ovat kaikki Survon operaatiot ja saahan sitä laatia
sukrojakin.

Ensisijaisesti ei ole tarkoituksena lähteä johtamaan kynällä ja
paperilla mitään yleisiä tuloksia, mutta sellaistakin saa tehdä,
kun on ensin selvitellyt näitä erikoistapauksia ja vaikkapa
yrittänyt arvata jotain jakauman yleisestä luonteesta.
Yksi mielenkiintoinen kysymys on, lähestyykö jakauma luvun n kasvaessa
normaalijakaumaa; sitä voi arvioida ihan intuitiivisestikin.

Survolle ominaiseen tyyliin ratkaisun tulisi olla "itsensä dokumentoiva"
niin, että vastauksena lähetetystä toimituskentästä tai sen osasta
ilmenevät kaikki ratkaisun vaiheet.

Tehtävää ei varmaankaan tarvitse selvittää yleisesti (tullakseen
palkituksi) vaan riittää käsitellä (mieluiten näppärämmin kuin yllä tein
tilanteessa n=2) tapauksia n=3,4,5,... ja laskeskella todennäköisyyksien
lisäksi tunnuslukuja (keskiarvo, keskihajonta).

Korostan vielä erityisesti sitä, että arvostan ratkaisuja, joissa Survon
käytöllä on merkittävä osuus.

- Seppo Mustonen

• Re: Kilpatehtävä 4 (tulokset) (Seppo Mustonen 16.3.2004 11:21)

Luettelo keskustelunaiheista

Survo-keskustelupalstan (2001-2013) viestit arkistoitiin aika ajoin sukrolla, joka automaattisesti rakensi viesteistä (yli 1600 kpl) HTML-muotoisen sivukokonaisuuden. Vuoden 2013 alusta Survo-keskustelua on jatkettu entistäkin aktiivisemmin osoitteessa forum.survo.fi. Tervetuloa mukaan!